1.(5分)(2015秋•保定期末)集合A={x|(1+x)(1﹣x)>0}，B={x|y= }，则A∩B=( )
A.(﹣1，1) B.(0，1) C.[0，1) D.(﹣1，0]
2.(5分)(2015秋•保定期末)复数z= 的实部与虚部相等，则实数a=( )
A.1 B.2 C. D.﹣1
3.(5分)(2015秋•保定期末)“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆(x﹣1)2+y2=1相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
上海夜生活论坛 4.(5分)(2015•东莞市模拟)设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )
A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α
上海夜生活论坛 C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
5.(5分)(2011•西安模拟)如图，程序框图所进行的求和运算是( )
A. B. C. D. 6.(5分)(2015秋•保定期末)将函数f(x)=sin(4x+ )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)图象的一条对称轴是直线( )
A.x= B.x= C.x= D.x= 7.(5分)(2015秋•保定期末)下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为 ;
②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c>a>b;
③设从总体中抽取的样本为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，若记 = xi， = yi，则回归直线方程 =bx+a必过点( ， );
④已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(﹣2≤ξ≤0)=0.4，则P(ξ>2)=0.2.
上海夜生活论坛 其中正确判断的个数有( )
上海夜生活论坛 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.(5分)(2015秋•保定期末)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于( )
上海夜生活论坛 A. B. C. D. 9.(5分)(2015秋•保定期末)等差数列{an}中，a1=2016，前n项和为Sn，若 ﹣ =﹣2，则S2016=( )
上海夜生活论坛 A.2014 B.2015 C.2016 D.2017
10.(5分)(2015秋•保定期末)已知 + + = ，且 与 的夹角为 ，| |= | |，设 ， 的夹角为θ，则tanθ=( )
A. B. C.﹣1 D.﹣ 11.(5分)(2015秋•保定期末)已知a>0且 a≠1，函数f(x)= +3loga (﹣ ≤x≤ )，设函数f(x)的最大值是A，最小值是B，则( )
上海夜生活论坛 A.A﹣B=4 B.A+B=4 C.A﹣B=6 D.A+B=6
12.(5分)(2015秋•保定期末)函数f(x)= ﹣k在(0，+∞)上有两个不同的零点a，b(a<b)，则下面结论正确的是( )
上海夜生活论坛 A.sina=acosb B.sinb=﹣bsina C.cosa=bsinb D.sina=﹣acosb
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.
上海夜生活论坛 13.(5分)(2015秋•保定期末)一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用 个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体.
14.(5分)(2015秋•保定期末)若a= cosxdx，则( + + )4的展开式中常数项为 .
上海夜生活论坛 15.(5分)(2012•陕西)设函数 ，D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为 .
16.(5分)(2012•北京)已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)，g(x)=2x﹣2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0;
②∃x∈(﹣∞，﹣4)，f(x)g(x)<0.
则m的取值范围是 .
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)(2015秋•保定期末)集合A={x|(1+x)(1﹣x)>0}，B={x|y= }，则A∩B=( )
A.(﹣1，1) B.(0，1) C.[0，1) D.(﹣1，0]
上海夜生活论坛 【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可.
【解答】解：由A中不等式解得：﹣1<x<1，即A=(﹣1，1)，
由B中y= ，得到x≥0，即B=[0，+∞)，
上海夜生活论坛 则A∩B=[0，1)，
故选：C.
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.(5分)(2015秋•保定期末)复数z= 的实部与虚部相等，则实数a=( )
上海夜生活论坛 A.1 B.2 C. D.﹣1
上海夜生活论坛 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部与虚部相等列式求得a值.
上海夜生活论坛 【解答】解：∵z= = 的实部和虚部相等，
∴ ，即a+6=3﹣2a，解得：a=﹣1.
故选：D.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.
上海夜生活论坛 3.(5分)(2015秋•保定期末)“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆(x﹣1)2+y2=1相切”的( )
上海夜生活论坛 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】直线mx﹣y+1﹣m=0过点(1，1)，利用直线mx﹣y+1﹣m=0与圆(x﹣1)2+y2=1相切，可得m=0，即可得出结论.
【解答】解：直线mx﹣y+1﹣m=0过点(1，1)
∵直线mx﹣y+1﹣m=0与圆(x﹣1)2+y2=1相切，
∴m=0，
上海夜生活论坛 ∴“m≥0”是“直线mx﹣y+1﹣m=0与圆(x﹣1)2+y2=1相切”的必要不充分条件，
故选：B.
上海夜生活论坛 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础.
4.(5分)(2015•东莞市模拟)设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )
A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α
上海夜生活论坛 C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论.
【解答】解：A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误.
B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误.
上海夜生活论坛 C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确.
D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误.
故选：C
【点评】本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理.
上海夜生活论坛 5.(5分)(2011•西安模拟)如图，程序框图所进行的求和运算是( )
上海夜生活论坛 A. B. C. D. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S值，分析循环变量的初值(由n=2决定)、终值(由n<21决定)、及步长(由n=n+2决定)我们易得到结论.
上海夜生活论坛 【解答】解：由n=2知循环变量的初值为2
由n<21得循环变量的终值为20
由n=n+2得循环变量步长为2
上海夜生活论坛 又由S=S+ ，
则S= ，
故选：A.
【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模.
6.(5分)(2015秋•保定期末)将函数f(x)=sin(4x+ )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)图象的一条对称轴是直线( )
上海夜生活论坛 A.x= B.x= C.x= D.x= 【分析】由题意根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论.
【解答】解：将函数f(x)=sin(4x+ )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin(2x+ )的图象，
再向右平移 个单位长度，得到函数y=g(x)=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x﹣ )的图象.
上海夜生活论坛 令x= ，求得g(x)=1，为函数g(x)的最大值，
则y=g(x)图象的一条对称轴是直线x= ，
故选：C.
【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.
上海夜生活论坛 7.(5分)(2015秋•保定期末)下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为 ;
②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c>a>b;
上海夜生活论坛 ③设从总体中抽取的样本为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，若记 = xi， = yi，则回归直线方程 =bx+a必过点( ， );
④已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(﹣2≤ξ≤0)=0.4，则P(ξ>2)=0.2.
上海夜生活论坛 其中正确判断的个数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
上海夜生活论坛 【分析】①利用平均数的定义可得：两个班的数学的平均分为 ，即可判断出正误;
②利用的定义可得：平均数为a=14.7，中位数为b=15，众数为c=17，即可判断出正误;
③利用回归直线方程的性质可得：谢谢回归方程可得：必过点( ， );
④利用正态分布的对称性可得.
上海夜生活论坛 【解答】解：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学的平均分为 ，因此不正确;
上海夜生活论坛 ②10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则其平均数为a= =14.7，中位数为b=15，众数为c=17，则有c>b>a，因此不正确;
上海夜生活论坛 ③设从总体中抽取的样本为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，若记 = xi， = yi，则回归直线方程 =bx+a必过点( ， )，正确;
④已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(﹣2≤ξ≤0)=0.4，则P(ξ>2)= =0.1，因此不正确.
其中正确判断的个数有1个.
故选：B.
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的性质、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
上海夜生活论坛 8.(5分)(2015秋•保定期末)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于( )
A. B. C. D. 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=8，进而求得M(1，4)，求出双曲线的左顶点和渐近线方程，由两直线平行的条件，解方程即可得到a的值.
上海夜生活论坛 【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F为( ，0)，准线方程为x=﹣ ，
由抛物线的定义可得|MF|=1+ =5，解得p=8，
上海夜生活论坛 可得抛物线的方程为y2=16x，M(1，4)，
双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A(﹣ ，0)，
直线AM的斜率为 ，
又双曲线的渐近线方程为y= x，
上海夜生活论坛 由题意可得， = ，
解得a= ，
故选A.
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查双曲线的渐近线方程，以及两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于中档题.
上海夜生活论坛 9.(5分)(2015秋•保定期末)等差数列{an}中，a1=2016，前n项和为Sn，若 ﹣ =﹣2，则S2016=( )
上海夜生活论坛 A.2014 B.2015 C.2016 D.2017
【分析】由题意可得公差d的方程，解得d值代入求和公式计算可得.
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
上海夜生活论坛 则 ﹣ = ﹣ =﹣2，
所以d=﹣2，又a1=2016，
上海夜生活论坛 故S2016=2016a1+ ×(﹣2)=2016，
故选：C.
【点评】本题考查等差数列的求和公式，求出数列的公差d是解决问题的关键，属基础题.
上海夜生活论坛 10.(5分)(2015秋•保定期末)已知 + + = ，且 与 的夹角为 ，| |= | |，设 ， 的夹角为θ，则tanθ=( )
A. B. C.﹣1 D.﹣ 【分析】作出图形，将问题转化为解三角形问题.
【解答】解：如图，设 = ， = ， ，则∠COA= ，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，
则 = =﹣ ，∠ODB=∠AOD= .BD=OA，OB= OA.
上海夜生活论坛 在△OBD中，由正弦定理得： ，∴ = ，
解得sin∠BOD= ，∴∠BOD= .∴θ=∠BOD+∠AOD= = .∴tanθ=﹣ .
故选：D.
【点评】本题考查了平面向量加法的几何意义，属于中档题.
上海夜生活论坛 11.(5分)(2015秋•保定期末)已知a>0且 a≠1，函数f(x)= +3loga (﹣ ≤x≤ )，设函数f(x)的最大值是A，最小值是B，则( )
A.A﹣B=4 B.A+B=4 C.A﹣B=6 D.A+B=6
【分析】讨论0<a<1和a>1，判断函数f(x)的单调性，结合指数函数和对数函数的运算法则进行化简即可.
【解答】解：f(x)= +3loga = +3loga =3﹣ +3loga(﹣1﹣ )，
若a>1，则﹣ 为增函数，3loga(﹣1﹣ )在﹣ ≤x≤ 上为增函数，
上海夜生活论坛 即f(x)在﹣ ≤x≤ 上为增函数，
上海夜生活论坛 此时函数的最大值A=f( )，最小值B=f(﹣ )，
若0<a<1，则﹣ 为减函数，3loga(﹣1﹣ )在﹣ ≤x≤ 上为减函数，
即f(x)在﹣ ≤x≤ 上为减函数，
此时函数的最大值A=f(﹣ )，最小值B=f( )，
上海夜生活论坛 则A+B=f(﹣ )+f( )= +3loga + +3loga = + +3loga +3loga3
上海夜生活论坛 = +3loga1
上海夜生活论坛 =4+0=4，
故选：B
【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据指数函数和对数函数的性质判断函数的单调性，以及利用对应的运算法则是解决本题的关键.
20.(12分)(2015秋•保定期末)在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，BC=2AB=1，PC= ，∠PBA= .
上海夜生活论坛 (1)求证：BC⊥PB;
(2)求二面角A﹣PC﹣B的大小.
上海夜生活论坛 【分析】(1)由已知推导出BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PB.
(2)法一：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的大小.
上海夜生活论坛 法二：作PQ⊥直线AB于Q，则PO⊥平面ABC，作AE⊥PB于E，则AE⊥平面PBC，∠AFE就是二面角A﹣PC﹣B的平面角，由此能求出二面角A﹣PC﹣B的大小.
上海夜生活论坛 【解答】证明：(1)∵平面PAB⊥平面ABC，且AB⊥BC，
上海夜生活论坛 ∴BC⊥平面PAB，
上海夜生活论坛 ∴BC⊥PB.(4分)
(2)解法一：如图，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ，(6分)
∵平面PAB⊥平面ABC，∴点P在坐标平面yBz内，
∵PC= ，BC=1，BC⊥PB，∴ ，
作PQ垂直于直线AB于Q，
上海夜生活论坛 则 ，QB=1，
上海夜生活论坛 ∴P(0，1，1)， ， ， ，(8分)
设平面PBC的法向量为 ，
则 ，取y=1，得 ，
设平面PAC的法向量 =(a.b.c)，
=(0，﹣ ，﹣1)， =(1，﹣1，﹣1)，
上海夜生活论坛 则 ，取a=1，得 ，(10分)
上海夜生活论坛 ∴ = = ，
上海夜生活论坛 由图知，二面角A﹣PC﹣B是锐二面角，
∴二面角A﹣PC﹣B的大小是 .(12分)
上海夜生活论坛 解：(2)解法二：作PQ⊥直线AB于Q，则PQ⊥平面ABC，
∵ ， ，PO=BO=1，
如图，作AE⊥PB于E，则AE⊥平面PBC，
上海夜生活论坛 ∴AE⊥PC，取PC中点F，连接AF，EF，
∵AO=AB= ，PO=BC=1，
∴ ，∴AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，
上海夜生活论坛 ∴PC⊥EF，∴∠AFE就是二面角A﹣PC﹣B的平面角.(8分)
， ，
上海夜生活论坛 ∴ ， ，
上海夜生活论坛 ∴二面角A﹣PC﹣B的大小是 .(12分)
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.
上海夜生活论坛 21.(12分)(2015秋•保定期末)已知抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： + =1在第一象限交于点A，直线y= x+m与椭圆C2交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合.
上海夜生活论坛 (1)求m的取值范围;
上海夜生活论坛 (2)△ABD的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由?
(3)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值.
【分析】(1)联立方程中先求出A点坐标，联立方程组 ，由此利用根的判别式能求出m的取值范围.
上海夜生活论坛 (2)利用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为 .
(3)设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，推导出kAB+kAD=0，由此能证明直线AB、AD的斜率之和为定值0.
【解答】解：(1)∵抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： + =1在第一象限交于点A，
∴由 ，得A点坐标为 ，(1分)
联立方程组 ，(3分)
上海夜生活论坛 ∵A、B、D三点两两互不重合，
∴△=﹣8m2+64>0，∴ ，且m≠0，
∴m的取值范围是 .(4分)
(2)设B(x1，y1)，D(x2，y2)， ①
上海夜生活论坛 ∵|BD|= |x1﹣x2|= ，(6分)
设d为点A到直线BD 的距离，则 .
∴ ，当且仅当m=±2时取等号.
上海夜生活论坛 ∵±2∈(﹣2 ，0)∪(0，2 )，
∴当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为 .(9分)
上海夜生活论坛 (3)证明：设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，
则 ，
上海夜生活论坛 将①代入上式整理得kAB+kAD=0，
∴直线AB、AD的斜率之和为定值0.(12分)
上海夜生活论坛 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查三角形的最大值是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、椭圆弦长公式和点到直线的距离公式的合理运用.
上海夜生活论坛 22.(12分)(2016•连江县校级模拟)已知函数f(x)=axlnx﹣x+1(a≥0).
上海夜生活论坛 (1)当a=1时，求f(x)的最小值;
上海夜生活论坛 (2)若x∈(1，+∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围;
上海夜生活论坛 (3)证明：当m>n>1时，mn﹣1<nm﹣1.
上海夜生活论坛 【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可;
(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可;
上海夜生活论坛 (3)问题转化为 ，设g(x)= ，(x>1)，根据函数的单调性证出g(m)<g(n)，从而证出结论.
【解答】解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，
上海夜生活论坛 当a=1时，f(x)=xlnx﹣x+1，f′(x)=lnx，
上海夜生活论坛 令f′(x)>0，则x>1;令f′(x)<0，则x<1，
∴f(x)在(0，1)单调递减，(1，+∞)单调递增，
上海夜生活论坛 ∴f(x)min=f(1)=0;
(2)f′(x)=alnx+a﹣1，(x>1)，
上海夜生活论坛 ①a=0时，f′(x)=﹣1<0，f(x)在(1，+∞)单调递减，
f(x)<f(1)=0恒成立与已知相矛盾，
上海夜生活论坛 ②当a>0时，由 ，
上海夜生活论坛 由 ，
∴f(x)的单调减区间是 ，单调增区间是 .
上海夜生活论坛 当 ，即a≥1时，f(x)在(1，+∞)单调递增，
上海夜生活论坛 f(x)>f(1)=0恒成立.
当 ，即0<a<1时，
f(x)在 单调递减，在 单调递增，
上海夜生活论坛 存在 ，与已知相矛盾，
综上：实数a的取值范围是[1，+∞).
(3)证明：∵m>n>1，∴要证：mn﹣1<nm﹣1，
上海夜生活论坛 只需证(n﹣1)lnm<(m﹣1)lnn，
只需证： .
设g(x)= ，(x>1)，则 .
上海夜生活论坛 由(1)知当a=1时，f(x)=xlnx﹣x+1>f(1)=0，
∴x﹣1﹣xlnx<0，∴g'(x)<0，
上海夜生活论坛 ∴g(x)在(1，+∞)上是减函数，
而m>n，∴g(m)<g(n)，
故原不等式成立.
上海夜生活论坛 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题.
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