上海夜生活论坛 1.若集合 ,则 ( )
上海夜生活论坛 A. B. C. D. 2. 已知命题 ,则 为( )
A. B.
C. D. 3. 已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为( )
上海夜生活论坛 A. B. C. D.
4. 下列命题中的假命题是( )
A. B.
C. D. 5. 已知函数 ,将 的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则 的最小值为( )
A. B. C. D. 6.已知 ,则 的值是( )
A. B. C. D. 7. 设 ,函数 ,则 恒成立是 成立的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
上海夜生活论坛 8.过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线 与离心率为 的双曲线 的两条渐近线的交点分别为 .若 分别表示 的横坐标,且 ,则 ( )
A. B. C. D. 9.《 九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵 中, ,若 ,当阳马 体积最大时,则堑堵 的体积为( )
A. B. C. D.
10.定义在 上的奇函数 满足 ,且当 时, 恒成立,则函数 的零点的个数为( )
上海夜生活论坛 A. B. C. D. 已知等比数列 中, ,则其前 项之和为 .
12.已知实数 满足 ,则 的最大值为 .
上海夜生活论坛 13. 函数 的减区间是 .
14. 如图,网格纸上每个小正方形的边长为 ,若粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 .
15.设 ,过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ,则 的最大值是 .
(本小题满分12分)在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ,角 、 、 的度数成等差数列, .
上海夜生活论坛 (1)若 ,求 的值;
上海夜生活论坛 (2)求 的最大值.
上海夜生活论坛 (本小题满分12分)已知 为各项均为正数的数列 的前 项和, .
上海夜生活论坛 (1)求 的通项公式;
(2)设 ,数列 的前 项和为 ,若对 恒成立,求实数 的最大值.
18. (本小题满分12分)如图,在平面四边形 中, .
(1)若 与 的夹角为 ,求 的面积 ;
上海夜生活论坛 (2)若 为 的中点, 为 的重心(三条中线的交点),且 与 互为相反向量
求 的值.
上海夜生活论坛 (本小题满分12分)在如图所示的空间几何体中,平面 平面 与 是边长为 的等边三角形, 和平面 所成的角为 ,且点 在平面 上的射影落在 的平分线上.
(1)求证: 平面 ;
(2)求二面角 的余弦值.
(本小题满分13分)已知函数 .
()求函数 的单调区间及最值;
(2)若对 恒成立,求 的取值范围;
(3)求证: .
上海夜生活论坛 (本小题满分14分)已知椭圆 ,过点 作圆 的切线,切点分别为 .直线 恰好经过 的右顶点和上顶点.
(1)求椭圆 的方程;
上海夜生活论坛 (2)如图,过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的弦 .
① 设 的中点分别为 ,证明: 直线 必过定点,并求此定点坐标;
上海夜生活论坛 ②若直线 的斜率均存在时,求由 四点构成的四边形面积的取值范围.
1-5: ADADB 6-10: CADCC
上海夜生活论坛 二、填空题
11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题
16. 解:(1) 由角 的度数成等差数列,得 .又 .
上海夜生活论坛 .由 ,得 .
所以当 ,即 时, .
17. 解:(1)当 时,由 ,得 ,即 .又 ,解得 .由 ,可知 . 两式相减,得 ,即 .由于 ,可得 ,即 ,所以 是首项为 ,公差为 的等差数列.所以 .
(2)由 ,可得 .
上海夜生活论坛 因为 ,所以 ,所以数列 是递增数列.
所以 ,所以实数 的最大值是 .
18. 解:(1) ,
.
(2) 以 为原点, 所在直线为 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则 ,设 ,则 ,因为 与 互为相反向量,所以 .因为 为 的重心,所以 ,即 ,因此 .由题意, ,即 . .
19. 解:(1) 由题意知, 都是边长为 的等边三角形,取 中点 ,连接 ,则 .又平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 .作 平面 于 .由题意,点 落在 上,且 .在 中, .在 中, .因为 平面 平面 ,所以 ,又 ,所以四边形 是平行四边形.所以 .又 平面 平面 ,所以 平面 .
(2) 作 ,垂足为 ,连接 平面 .又 平面 .所以 .所以 就是二面角 的一个平面角.在 中, .在 中, .在 中, ,即二面角 的余弦值为 .
上海夜生活论坛 20. 解:(1) 的定义域为 ,所以函数 的增区间为 ,减区间为 . ,无最小值.
(2) ,令 .则 .当 时,显然 ,所以 在 上是减函数.所以当 时, .所以, 的取值范围为 .
上海夜生活论坛 (3)又(2)知,当 时, ,即 .
在 式中,令 ,得 ,即 ,依次令 ,得 .将这 个式子左右两边分别相加,得 .
21.解:(1)过 作圆 的切线,一条切线为直线 ,切点 .设另一条切线为 ,即 .因为直线与圆 相切,则 .解得 .所以切线方程为 .由 ,解得 ,直线 的方程为
上海夜生活论坛 ,即 .令 ,则 所以上顶点的坐标为 ,所以 ;令 ,则 ,所以右顶点的坐标为 ,所以 ,所以椭圆 的方程为 .
(2) ①若直线 斜率均存在,设直线 , 则中点 . 先考虑 的情形.由 得 .由直线 过点 ,可知判别式 恒成立. 由韦达定理,得 ,故 ,将上式中的 换成 ,则同理可得 .若 ,得 ,则直线 斜率不存在. 此时直线 过点 .下证动直线 过定点 .
② 当直线 的斜率均存在且不为 时, 由①可知,将直线 的方程代入椭圆方程中,并整理得 ,所以 .同理, ,
上海夜生活论坛 ,因为 ,当且仅当 时取等号,所以 ,即 .
所以,由 四点构成的四边形面积的取值范围为 .
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