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　　三角函数的诱导公式ppt

　　所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

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　　所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

　　基本信息

　　·

　　中文名称

　　·

　　三角函数诱导公式

　　·

　　目录1基本简介

上海夜生活论坛　　2常用公式3判断口诀

　　4基本关系5记忆方法

　　6推导过程

上海夜生活论坛　　折叠编辑本段基本简介

　　所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

 

　　折叠编辑本段常用公式

　　折叠公式一

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin(2kπ+α)=sinα k∈z

　　cos(2kπ+α)=cosα k∈z

　　tan(2kπ+α)=tanα k∈z

上海夜生活论坛　　cot(2kπ+α)=cotα k∈z

　　折叠公式二

上海夜生活论坛　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π+α)=-sinα

上海夜生活论坛　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　cot(π+α)=cotα

　　折叠公式三

上海夜生活论坛　　任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

上海夜生活论坛　　sin(-α)=-sinα

上海夜生活论坛　　cos(-α)=cosα

上海夜生活论坛　　tan(-α)=-tanα

　　cot(-α)=-cotα

　　折叠公式四

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

上海夜生活论坛　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　cot(π-α)=-cotα

　　折叠公式五

上海夜生活论坛　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

上海夜生活论坛　　sin(2π-α)=-sinα

上海夜生活论坛　　cos(2π-α)=cosα

上海夜生活论坛　　tan(2π-α)=-tanα

上海夜生活论坛　　cot(2π-α)=-cotα

　　折叠公式六

上海夜生活论坛　　π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

上海夜生活论坛　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

上海夜生活论坛　　tan(π/2-α)=cotα

上海夜生活论坛　　cot(π/2-α)=tanα

　　折叠推算公式

上海夜生活论坛　　3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

上海夜生活论坛　　sin(3π/2+α)=-cosα

上海夜生活论坛　　cos(3π/2+α)=sinα

上海夜生活论坛　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　cot(3π/2+α)=-tanα

上海夜生活论坛　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2-α)=cotα

　　cot(3π/2-α)=tanα

　　折叠诱导公式记忆口诀

　　“奇变偶不变，符号看象限”

　　口诀解析：“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化与否(“变”是指正弦变余弦、余弦变正弦、正切变余切、余切变正切、正割变余割、余割变正割)。“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看k·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

上海夜生活论坛　　任意一个角都可以表示为的形式。当把任意角化为形如k·(π/2)±α的式子后，利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”，就能把任意角转化到之间。

　　

 

上海夜生活论坛　　①“奇”与“偶”：是指把任意角转化之后的k·(π/2)±α形式中的系数k的奇偶性，即确定系数k是奇数还是偶数;

　　②“变”与“不变”：是指三角函数的名称改变与否，即若变，则正弦变余弦、余弦变正弦、正切变余切、余切变正切，正割变余割、余割变正割。

上海夜生活论坛　　综合①②，“奇变偶不变”是说，把任意角化为k·(π/2)±α的形式后，若k是奇数则三角函数名称改变，若k是偶数则三角函数名称不改变。

　　③“象限”：是指把任意角k·(π/2)±α所在的象限。

上海夜生活论坛　　④“符号”：是指在确定所在的象限后，相应的原三角函数值的符号(如图)。

　　折叠编辑本段判断口诀

上海夜生活论坛　　“一全正;二正弦;三双切;三正切，四余弦。这十五字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都为“+”; 第二象限内只有正弦为“+”，其余全部为“-”; 第三象限内只有正切和余切为“+”，其余全部为“-”; 第四象限内只有余弦为“+”，其余全部为“-”。

上海夜生活论坛　　“ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

上海夜生活论坛　　折叠编辑本段基本关系

上海夜生活论坛　　折叠倒数的关系

　　sinα ·cscα=1

　　cosα ·secα=1

　　tanα ·cotα=1

　　折叠商的关系

上海夜生活论坛　　tanα=sinα/cosα=secα/cscα(cosα≠0,cscα≠0)

　　cotα=cosα/sinα=cscα/secα(sinα≠0,secα≠0)

　　折叠平方的关系

　　sin^2(α)+cos^2(α)=1

　　1+tan^2(α)=sec^2(α)

上海夜生活论坛　　1+cot^2(α)=csc^2(α)

上海夜生活论坛　　折叠编辑本段记忆方法

　　构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

　　

总结：奇变偶不变，符号看象限

 

　　倒数关系

　　对角线上两个函数互为倒数;

　　折叠商数关系

　　六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。)。由此，可得商数关系式。

　　折叠平方关系

　　在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

　　折叠两角和差公式

　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

上海夜生活论坛　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

　　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanαtanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

上海夜生活论坛　　折叠二倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin2α=2sinαcosα

　　cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

上海夜生活论坛　　tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

　　折叠半角的正弦、余弦和正切公式

上海夜生活论坛　　sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

　　cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

　　tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

　　tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

　　折叠万能公式

　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

上海夜生活论坛　　cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

　　tanα=[2tan(α/2)]/[1-tan^2(α/2)]

　　折叠三倍角的正弦、余弦和正切公式

上海夜生活论坛　　sin3α=3sinα-4sin^3(α)

　　cos3α=4cos^3(α)-3cosα

　　tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

　　折叠三角函数的和差化积公式

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2] ·cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2] ·sin[(α-β)/2]

上海夜生活论坛　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

上海夜生活论坛　　折叠三角函数的积化和差公式

　　sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

上海夜生活论坛　　cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

上海夜生活论坛　　sinα·sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　折叠编辑本段推导过程

　　折叠万能公式推导

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[(cos^2(α)+sin^2(α)]......*，

上海夜生活论坛　　(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)

　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan^2(α)]

上海夜生活论坛　　然后用α/2代替α即可。

　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

　　折叠三倍角公式推导

　　tan3α=sin3α/cos3α

　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　=[2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α)]/[cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα]

上海夜生活论坛　　上下同除以cos^3(α)，得：

　　tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

　　=2sinαcos^2(α)+[1-2sin^2(α)]sinα

　　=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

　　=3sinα-4sin^3(α)

　　cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

上海夜生活论坛　　=[2cos^2(α)-1]cosα-2cosαsin^2(α)

　　=2cos^3(α)-cosα+[2cosα-2cos^3(α)]

　　=4cos^3(α)-3cosα

　　即

　　sin3α=3sinα-4sin^3(α)

上海夜生活论坛　　cos3α=4cos^3(α)-3cosα

上海夜生活论坛　　折叠和差化积公式推导

上海夜生活论坛　　首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

上海夜生活论坛　　所以,sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

　　同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

　　同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　　所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

　　所以我们就得到,cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

　　同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

　　这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

　　sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

上海夜生活论坛　　cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

　　cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

　　sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

　　好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

上海夜生活论坛　　我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

　　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

　　sinx+siny=2sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]

上海夜生活论坛　　sinx-siny=2cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

上海夜生活论坛　　cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]

　　cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

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