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乔治·约阿希姆·瑞提克斯制作了间隔10秒(10″)的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将古希腊有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。弗朗索瓦·韦达给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。

上海夜生活论坛　　折叠现代三角学的确认

　　18世纪开始，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。Collins将牛顿的结果告诉了詹姆斯·格列高里，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹在1673年左右也独立得到了这一结果。

　　十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的。1748年，欧拉发表著名的《无穷小分析引论》(Introductio in Analysin Infinitorum，1748年)对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP(即函数线)相互之间所取的比值(如图八)，sinα=MP/OP，cosα=OM/OP，tanα= MP/OM等。若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化。他还定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。

上海夜生活论坛　　欧拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是三角学的真正确立。

上海夜生活论坛　　折叠弦表的发明

上海夜生活论坛　　星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎么样呢?能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?这就是天文学向数学提出的第一个课题-制造弦表。根据认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之间的距离。

上海夜生活论坛　　然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克 (Hipparchus，约前180~前125)不是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长(如图三)。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。

 

　　据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把圆周360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”;后来，这两个名字演变为”minute”和”second”，成为角和时间的度量上”分”和”秒”这两个单位得起源。

上海夜生活论坛　　建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先着手计算一些特殊圆弧所对应的弦长。比如 60°弧(1/6圆周长)所对的弦长，正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60°弧对应的弦值是60个半径单位(半径长的1/60为一个单位);用同样的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所对应的弦值(如图四)。有了这些弧所对应的弦值，接着就利用所称的”托勒密定理”，来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。所谓弦表，就是在保持AB不变的情况下可以供查阅的表 (如图二)，AC的长度与∠ABC的大小之间的对应关系。

　　折叠传入中国

上海夜生活论坛　　三角学输入中国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大测》中，首先将sine译为”正半弦”，简称”正弦”，这就成了“正弦”一词的由来。

上海夜生活论坛　　折叠编辑本段正弦余弦

　　折叠余弦

　　对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——

上海夜生活论坛　　a² = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA

上海夜生活论坛　　b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

上海夜生活论坛　　c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

上海夜生活论坛　　cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

上海夜生活论坛　　cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)

上海夜生活论坛　　cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

　　(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)

上海夜生活论坛　　第一余弦定理(任意三角形射影定理)

　　设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A

　　折叠“正弦”的由来

上海夜生活论坛　　公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。

　　三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。

　　

我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应(如图五 )，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。

 

上海夜生活论坛　　印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为”吉瓦”，是弓弦的意思;称AB的一半(AC) 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。

上海夜生活论坛　　三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大测》中，首先将sinus译为”正半弦”，简称”正弦”，这就成了正弦一词的由来。

上海夜生活论坛　　折叠“弦表”问世

上海夜生活论坛　　根据现在的认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克 (Hipparchus，约前180~前125)不是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长(如图三)。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，现在我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。

上海夜生活论坛　　据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把圆周360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”;后来，这两个名字演变为”minute”和”second”，成为现在角和时间的度 量上”分”和”秒”这两个单位得起源。

上海夜生活论坛　　建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先着手计算一些特殊圆弧所对应的弦长。比如 60°弧(1/6圆周长)所对的弦长，正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60°弧对应的弦值是60个半径单位(半径长的1/60为一个单位);用同样的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所对应的弦值(如图四)。有了这些弧所对应的弦值，接着就利用现在所称的”托勒密定理”，来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。

　　折叠60进制

　　60进制以度为单位，将圆周分成360等份，每一份所对的圆心角叫做1度，1度等于60分，1分等于60秒。在时间上,1小时有60分，1分有60秒。这种60进制起源于巴比伦是1854年由欣克斯(Edward Hincks，1792-1866) 研究泥板上的楔形文字所发现的,这些泥板是公元前2300-1600年的遗物。Edward Hincks 是爱尔兰人，以解读埃及的象形文字及巴比伦的楔形文字著称于世。

上海夜生活论坛　　巴比伦人为什么用60作为进位的基数呢?这是很有趣的问题，引起后人的种种猜测。以下我就列举几个有趣的例子。

　　(1)数学史家M.康托尔(Moritz Benedikt Cantor,1829-1920)曾认为他们最初以360天为一年。将圆周分为360度，太阳就每天行一度。又圆内恰好可以连续作6条等于半径长的弦,每一条弦所对的长是60度，基数60或者由此而来。但根据考证,巴比伦人很早就知道太阳年是365日，太阴年(12个月)是354或355日,因此这种假说很难成立。康托尔后来也放弃了这种说法。

　　(2)60这个数字的选择是因为它是许多简单数字2，3，4，5，6，10，12，……的倍数，从而它的1/2，1/3，1/4， 1/5，……都是整数,用起来比较方便。这种想法早在希腊时代的赛翁就已指出，近年来又有 勒夫勒等人提倡。然而有人认为这是违反历史事实的,因为记数不可能由某些学者为了”科学目的”自由创造出来，而是悠久历史发展的结果。

上海夜生活论坛　　(3)克维奇(G.Kewitsch)在1904年提出,当时两河流域有两个民族，1个用10进制，一个用6进制。两种混合调和就形成60进制。10进制是容易理解的，因为人们用10个指头来计算,而6进制是用一只手来计算，5个指头表示1至5，握拳表示6，6以上，就要进位了。其实有几种意见认为是和指算有关。用手指计算的确在某些地区和年代流行过,甚至在近代也是如此。像我国也有”掐指一算”的说法。

　　总之，对于基数60的起源,至今还没有一致公认的看法。中国在殷商时代(公元前16-11世纪),就开始用干支纪日、纪年，从甲子起，60一个循环,周而复始，叫做六十花甲子。可以说和巴比伦异曲同工,不过没有发展为进位值。

上海夜生活论坛　　*希伯诸斯据说曾编著了第一个三角函数表，这个成就使他赢得了“三角学之父”的称谓。

　　折叠编辑本段相关定义

　　依据单位圆定义，我们可以做三个有向线段(向量)来表示正弦、余弦、正切的值。

　　如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点，过S点做圆O的切线l。

 

　　那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线(或反向延长线)与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。

上海夜生活论坛　　借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。

　　1.锐角三角函数定义

　　锐角角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan)，余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

上海夜生活论坛　　正弦(sin)等于对边比斜边;

　　余弦(cos)等于邻边比斜边;

上海夜生活论坛　　正切(tan)等于对边比邻边;

　　余切(cot)等于邻边比对边;

上海夜生活论坛　　正割(sec)等于斜边比邻边;

　　余割(csc)等于斜边比对边。

　　2.互余角的三角函数关系

　　sin(90°-α)=cosα， cos(90°-α)=sinα,

　　tan(90°-α)=cotα， cot(90°-α)=tanα。

　　3.同角三角函数间的关系

上海夜生活论坛　　商数关系：sinA/cosA=tanA

上海夜生活论坛　　平方关系：sin^2(A)+cos^2(A)=1

上海夜生活论坛　　积的关系：

上海夜生活论坛　　sinA=tanA·cosA

　　cosA=cotA·sinA

上海夜生活论坛　　cotA=cosA·cscA

　　tanA·cotA=1

　　倒数关系：

　　直角三角形ABC中

　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，

上海夜生活论坛　　余弦等于角A的邻边比斜边

上海夜生活论坛　　正切等于对边比邻边,

　　余切等于邻边比对边

　　4.三角函数值

上海夜生活论坛　　(1)特殊角三角函数值

　　(2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表

　　(3)锐角三角函数值的变化情况

上海夜生活论坛　　(i)锐角三角函数值都是正值

　　(ii)当角度在0°～90°间变化时，

　　正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

上海夜生活论坛　　余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

　　正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

上海夜生活论坛　　余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

　　(iii)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，

　　0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0

　　当角度在0°<∠A<90°间变化时，

　　tanA>0, cotA>0

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