上海夜生活论坛 二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。
二次函数
I.定义与定义表达式
上海夜生活论坛 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
上海夜生活论坛 y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
上海夜生活论坛 II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax²;+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(x-h)²;+k [抛物线的顶点P(h，k)]
上海夜生活论坛 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b²;)/4a x1,x2=(-b±√b²;-4ac)/2a
III.二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象，
可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
上海夜生活论坛 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
上海夜生活论坛 P [ -b/2a ，(4ac-b²;)/4a ]。
上海夜生活论坛 当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
上海夜生活论坛 |a|越大，则抛物线的开口越小。
上海夜生活论坛 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
上海夜生活论坛 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
上海夜生活论坛 抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b²-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax²;+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，
即ax²;+bx+c=0
此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
上海夜生活论坛 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
上海夜生活论坛 当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
上海夜生活论坛 当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
上海夜生活论坛 抛物线与y轴交于(0，c)
上海夜生活论坛 6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
上海夜生活论坛 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
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